Câu chuyện toán học

Các nhà toán học là những người kể chuyện. Nhân vật của họ là những con số và các hình hình học. Câu chuyện của họ là các chứng minh được sáng tạo ra về các nhân vật đó.

Nhiều người tin rằng làm toán là bàn đến tất cả những mệnh đề đúng về các con số và các hình hình học, ví như tính vô tỉ của căn bậc hai của 2, công thức tính thể tích các khối cầu hay liệt kê các phần tử của các nhóm hữu hạn. Một nhà toán học mà tôi rất ngưỡng mộ, Henri Poincare, đã quan niệm về việc làm toán theo một cách khác hẳn:

“Sự sáng tạo không đơn thuần ở việc đưa ra những kết hợp vô dụng. Sáng tạo là sáng suốt, là sự lựa chọn… Những kết hợp khô cứng thậm chí không xuất hiện trong tâm trí của người sáng tạo”.

Toán học, cũng như văn chương, là việc thực hiện các lựa chọn. Khi đó một câu hỏi được đặt ra là, tiêu chuẩn nào khiến một công trình toán học có được vị trí trong thư viện toán học? Vì sao Định lý cuối của Ferrmat được xem như một trong những tác phẩm vĩ đại của toán học trong thế kỉ qua khi mà các kết quả rắc rốicủa số học bị coi là tầm thường và ít hấp dẫn. Rốt cuộc thì điều lí thú thực sự của việc chứng minh phương trình xn+yn=zn không có nghiệm nguyên với n>2 là gì?

Tôi muốn đề cập đến bản chất của chứng minh định lý này, định lý đề cao giá trị một mệnh đề về các con số đến một vị trí xứng đáng trong đài Patheon (đền thờ các vị thần) của toán học. Và tôi cũng muốn nói rằng, chất lượng của một chứng minh tốt có nhiều điểm chung với các hành động của một câu chuyện hấp dẫn.

Tôi có một giả thuyết, nếu được diễn đạt thành một phương trình toán học, tôi sẽ viết là:

Chứng minh= Câu chuyện

Chứng minh một định lý giống như câu chuyện về sự khám phá của một nhà toán học. Qua khung cửa sổ toán học, Fermat đã phát hiện một đỉnh núi toán học ở rất xa, đó là một khẳng định rằng phương trình ông đưa ra không có nghiệm nguyên. Một thách thức cho các thế hệ các nhà toán học đi sau: từ lãnh thổ quen thuộc, hãy tìm kiếm con đường dẫn đến miền đất mới này. Nó giống như cuộc phiêu lưu mạo hiểm của Frodo trong tác phẩm “Chúa tể những chiếc nhẫn”[2] của nhà văn Tolkien[3], ở đây, phép chứng minh được mô tả như hành trình từ ngôi làng Shire đến đỉnh núi Mordor.

Trong mảnh đất quen thuộc của ngôi làng Shire bị giới hạn trong các tiên đề là những mệnh đề hiển nhiên đúng trong lý thuyết số, cùng với các định đề đã được chứng minh. Đó là sự khởi đầu của cuộc tìm kiếm. Cuộc hành trình từ mảnh đất quê hương bị ràng buộc bởi các quy tắc suy luận toán học, giống như việc di chuyển của các quân cờ trong ván cờ, ở đó mỗi nước đi phải đúng luật theo những quy định chung cho tất cả những người chơi cờ. Đôi khi bạn lâm vào ngõ cụt và cần đến một biện pháp nội tại đặc trưng, bạn đổi hướng hoặc thậm chí quay lại để tìm một con đường vòng. Thỉnh thoảng bạn cần chờ một “nhân vật toán học” mới, ví như các số ảo hoặc các phép toán mới được tạo ra, để có thể tiếp tục cuộc hành trình.

Phép chứng minh là câu chuyện về chuyến đi vất vả và việc vẽ bản đồ trên hệ trục tọa độ của cuộc thám hiểm, đó là hải trình của nhà toán học.

Một chứng minh thành công giống như tập hợp các biển chỉ đường để các thế hệ các nhà toán học đi sau thực hiện lại cuộc hành trình đó. Người đọc bài chứng minh sẽ trải nghiệm quá trình đầy lý thú như chính tác giả của chứng minh, hành trình dẫn họ chiếm lĩnh một đỉnh núi xa. Thông thường, một chứng minh không phải là việc tìm được dấu chấm trên đầu mỗi chữ i và dấu gạch ngang của mỗi chữ t, giống như một câu chuyện, không phải là giới thiệu một cách chi tiết cuộc đời của nhân vật. Đó là sự mô tả một hành trình và không cần nhắc lại các quy tắc trong mỗi bước. Các lý lẽ mà các nhà toán học thường đưa ra trong các chứng minh tạo được hiệu ứng cao trong tâm trí người đọc. Nhà toán học GH Hardy đã mô tả các lý lẽ mà các nhà toán học thường làm như là “một thứ vật dùng để trang trí, các đoạn nhạc dạo một cách khoa trương nhằm tạo ấn tượng tâm lý, các hình vẽ trên bảng trong một bài giảng, các dụng cụ để kích thích trí tưởng tượng của học sinh”.

Niềm vui khi đọc và sáng tạo toán học đến từ khảnh khắc phấn khích reo lên “A ha!” bật ra ta lần được các mối dây để làm sáng tỏ điều bí ẩn. Nó giống như khoảnh khắc của sự chuyển hóa hòa âm trong một tác phẩm âm nhạc hay việc phát hiện ra bí mật một vụ án mạng trong các truyện trinh thám.

Yếu tố gây ngạc nhiên là đặc tính quan trọng khiến môn toán trở nên say mê. Nhà toán học Michal Atiyah nói về đặc tính đó như sau:

“Tôi thích được ngạc nhiên. Những lý luận theo một khuôn mẫu có sẵn để diễn giải cho vài ý tưởng mới nào đó thì thật chán ngán và không hứng thú. Tôi thích thú sự bất ngờ, thích có cách nhìn mới, một liên kết với các địa hạt khác hay một sự thay đổi vào đoạn cuối”.

Khi tôi ngồi viết một công trình toán học mới, các lựa chọn mà tôi dùng đến sẽ thúc đẩy khát vọng người đọc trong một hành trình đầy những lối rẽ, những thay đổi và bất ngờ. Tôi muốn khích thích người đọc bởi sự thách thức trả lơi câu hỏi vì sao hai yếu tố toán học dường như không hề liên quan với nhau lại thực hiện một điều gì đó với nhau. Và khi chứng minh mở ra, qua việc thực hiện dần dần hoặc vào một khoảnh khắc bất ngờ, người đọc nhận thức rằng hai ý tưởng đó thực tế là một và có cùng một đặc điểm như nhau.

Giá trị của việc tìm kiếm các mối liên kết bất ngờ là một trong những lý do khiến tôi thích nói đến một trong những đóng góp của bản thân mình về quy tắc đánh giá trong toán học. Vài năm trước tôi phát hiện ra một đối tượng có tính đối xứng mới mà đường nét của nó bị che khuất bởi sự phức tạp của các giải pháp của đường cong elliptic, là một trong những bài toán lớn chưa giải được của toán học. Bài chứng minh được trình bày trong một seminar hay trong một bài báo trên tạp chí mà tôi cộng tác đã chứng tỏ việc liên kết hai lĩnh vực rất khác nhau trong toán học… Việc phát hiện ra các đối tượng đối xứng mới tự nó không khó như vậy. Bằng máy tính, tôi có thể đưa ra vô hạn các ví dụ về các đối tượng đối xứng chưa từng gặp. Nghệ thuật của nhà toán học là lựa chọn một số các đối tượng để kể lại một câu chuyện đầy ắp sự ngạc nhiên. Đây là một mục tiêu của nhà toán học, như Poincare đã nói: đó là việc thực hiện những sự lựa chọn.

[1] http://www.theguardian.com/books/2015/jan/23/mathematicians-storytellers-numbers-characters-marcus-du-sautoy

[2] The Lord of the Rings, tiểu thuyết ba tập.

[3] John Ronald Reuel Tolkien (3 tháng 1 năm 1892 – 2 tháng 9 năm 1973) nhà văn, tiểu thuyết gia, và giáo sư người Anh, được công chúng biết đến nhiều nhất qua các tác phẩm Anh chàng Hobbit (The Hobbit) và Chúa nhẫn (The Lord of the Rings).

Theo hocthenao.vn